Sonucunuz burada görünecek
Bilgileri doldurun ve Hesapla'ya basın.
Faktöriyel (n!), 1'den n'e kadar tüm tam sayıların çarpımıdır ve olasılık, permütasyon-kombinasyon ile sayma problemlerinin temel taşıdır. Değeri şaşırtıcı hızda büyür: 5! yalnız 120 iken, 10! üç milyonu aşar, 20! ise on sekiz haneli bir sayıdır. Bu hızlı büyüme, hesap makinelerinin çoğunu taşırır — bu araç ise büyük sayılarda bile tam sonuç verir.
Araca sayıyı girin; n! değeri kesin olarak hesaplansın.
Faktöriyel Hesaplama: adım adım örnek hesaplama
7 farklı kitap rafa kaç farklı sırayla dizilebilir? Cevap 7!
- Sayı (n)
- 7
- 1
Tanımı yaz
n! = n × (n − 1) × … × 2 × 1
= 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
- 2
Bir önceki faktöriyel
(n − 1)!
= 720
- 3
Son çarpımı yap
n! = n × (n − 1)!
7 × 720 = 5.040
- 4
Sondaki sıfır sayısı
⌊n ÷ 5⌋ + ⌊n ÷ 25⌋ + ⌊n ÷ 125⌋ + …
= 1
- 5
Basamak sayısı
Sonucun kaç basamaklı olduğu
= 4
- n!:1 → 5.040
Bilmeniz gereken: Tanım gereği 0! = 1’dir. Faktöriyel üstelden bile hızlı büyür: 10! = 3.628.800, 20! yaklaşık 2,4 × 10¹⁸. Sondaki sıfırlar 2 × 5 çiftlerinden gelir; 5’ler daha az olduğu için onları saymak yeterlidir.
Faktöriyel nasıl hesaplanır?
Tanım
n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 2 × 1. Örneğin 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
Özel durumlar
- 0! = 1. Sıfırın faktöriyeli tanım gereği 1'dir (boş çarpım). Bu, kombinasyon-permütasyon formüllerinin tutarlı çalışması için gereklidir.
- 1! = 1.
- Negatif sayıların ve tam olmayan sayıların faktöriyeli (temel tanımda) yoktur.
Ne kadar hızlı büyür?
| n | n! |
|---|---|
| 5 | 120 |
| 10 | 3.628.800 |
| 13 | 6.227.020.800 |
| 20 | 2.432.902.008.176.640.000 |
13! artık bir hesap makinesi ekranına sığmaz; 20! on sekiz hanelidir. Bu üstel-ötesi büyüme, faktöriyelin neden çok büyük sayılarla çalışan bir işlem olduğunu gösterir — araç tam sayı aritmetiğiyle hane kaybı olmadan hesaplar.
Nerede kullanılır?
- Permütasyon: n farklı nesnenin tüm sıralamaları n!'dir.
- Kombinasyon-permütasyon formülleri: C(n,r) ve P(n,r) faktöriyellerle tanımlanır.
- Olasılık: düzenleme ve seçim problemlerinin paydaları.
Doğrudan seçim ve sıralama için "Kombinasyon Hesaplama" ve "Permütasyon Hesaplama" araçlarımıza bakın.
Örnek hesap
5! hesaplayalım: 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 — beş kişinin bir sıraya kaç farklı şekilde dizilebileceği tam olarak budur. Büyümenin hızını görmek için: 10! = 3.628.800 (on kişinin sıralaması), 13! = 6.227.020.800 (artık on haneli). Her adımda bir öncekini n ile çarptığımız için değer katlanarak büyür: 5!'ten 10!'e geçerken sonuç 30 binden fazla katına çıkar. 0!'in ise tanım gereği 1 olduğunu unutmayın — bu, seçim formüllerinin tutarlılığı için şarttır.
Faktöriyel tablosu (1! – 18!)
| n! | Değer |
|---|---|
| 1! | 1 |
| 2! | 2 |
| 3! | 6 |
| 4! | 24 |
| 5! | 120 |
| 6! | 720 |
| 7! | 5.040 |
| 8! | 40.320 |
| 9! | 362.880 |
| 10! | 3.628.800 |
| 11! | 39.916.800 |
| 12! | 479.001.600 |
| 13! | 6.227.020.800 |
| 14! | 87.178.291.200 |
| 15! | 1.307.674.368.000 |
| 16! | 20.922.789.888.000 |
| 17! | 355.687.428.096.000 |
| 18! | 6.402.373.705.728.000 |
Sık sorulan sorular
Faktöriyel nasıl hesaplanır?+
n! = 1'den n'e kadar tüm tam sayıların çarpımıdır: 5! = 5×4×3×2×1 = 120. Araç, büyük n değerlerinde bile tam sonucu hane kaybı olmadan verir.
0! neden 1'e eşit?+
Tanım gereği boş çarpım 1 kabul edilir. Ayrıca kombinasyon ve permütasyon formüllerinin (ör. C(n,n)=1) tutarlı çalışması için 0! = 1 olmalıdır.
Faktöriyel ne kadar hızlı büyür?+
5! = 120, 10! ≈ 3,6 milyon, 20! ise 18 haneli bir sayıdır. Her adımda n ile çarpıldığı için üstel büyümenin bile ötesinde artar; bu yüzden büyük n'lerde özel hesap gerekir.
Negatif veya ondalık sayının faktöriyeli var mı?+
Temel tanımda hayır — faktöriyel yalnız 0 ve pozitif tam sayılar için tanımlıdır. (İleri matematikte gama fonksiyonu bunu genişletir ama bu araç tam sayılarla çalışır.)
Faktöriyel nerelerde kullanılır?+
Sıralama (permütasyon) ve seçim (kombinasyon) problemlerinde, olasılık hesaplarında ve seri açılımlarında. n farklı nesnenin tüm dizilişleri tam olarak n! tanedir.
Hesap makinem büyük faktöriyelde hata veriyor, neden?+
Çoğu hesap makinesi belirli bir basamaktan sonra sayıyı yuvarlar veya taşar. Bu araç tam sayı aritmetiği kullandığından 100! gibi çok büyük değerleri bile kesin hesaplar.
Bu sayfa hakkında
- Yayıncı:
- Kalkoro — Teknolojig Bilişim Teknolojileri A.Ş., İstanbul
- Hazırlayan:
- Ahmet Tur — Editör (Matematik, tarih ve zaman, birim dönüştürme, fizik ve kimya, günlük araçlar)
- Kontrol eden:
- Kübra Yıldız — Editör
Parametreler resmî kaynaklardan alınır; son güncelleme tarihi sayfanın altında görünür.
Yanlış sonuç mu gördünüz? Sayfanın üstündeki "Hata bildir" düğmesini kullanın; her bildirim incelenir.
Hesaplama yöntemi ve doğruluk politikası →
Sonuçlar bilgilendirme amaçlıdır. Resmî işlemlerde ilgili kurumun hesabı esastır.
Son güncelleme: