Sonucunuz burada görünecek
Bilgileri doldurun ve Hesapla'ya basın.
Faktöriyel (n!), 1'den n'e kadar tüm tam sayıların çarpımıdır ve olasılık, permütasyon-kombinasyon ile sayma problemlerinin temel taşıdır. Değeri şaşırtıcı hızda büyür: 5! yalnız 120 iken, 10! üç milyonu aşar, 20! ise on sekiz haneli bir sayıdır. Bu hızlı büyüme, hesap makinelerinin çoğunu taşırır — bu araç ise büyük sayılarda bile tam sonuç verir.
Araca sayıyı girin; n! değeri kesin olarak hesaplansın.
Faktöriyel nasıl hesaplanır?
Tanım
n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 2 × 1. Örneğin 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
Özel durumlar
- 0! = 1. Sıfırın faktöriyeli tanım gereği 1'dir (boş çarpım). Bu, kombinasyon-permütasyon formüllerinin tutarlı çalışması için gereklidir.
- 1! = 1.
- Negatif sayıların ve tam olmayan sayıların faktöriyeli (temel tanımda) yoktur.
Ne kadar hızlı büyür?
| n | n! |
|---|---|
| 5 | 120 |
| 10 | 3.628.800 |
| 13 | 6.227.020.800 |
| 20 | 2.432.902.008.176.640.000 |
13! artık bir hesap makinesi ekranına sığmaz; 20! on sekiz hanelidir. Bu üstel-ötesi büyüme, faktöriyelin neden çok büyük sayılarla çalışan bir işlem olduğunu gösterir — araç tam sayı aritmetiğiyle hane kaybı olmadan hesaplar.
Nerede kullanılır?
- Permütasyon: n farklı nesnenin tüm sıralamaları n!'dir.
- Kombinasyon-permütasyon formülleri: C(n,r) ve P(n,r) faktöriyellerle tanımlanır.
- Olasılık: düzenleme ve seçim problemlerinin paydaları.
Doğrudan seçim ve sıralama için "Kombinasyon Hesaplama" ve "Permütasyon Hesaplama" araçlarımıza bakın.
Örnek hesap
5! hesaplayalım: 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 — beş kişinin bir sıraya kaç farklı şekilde dizilebileceği tam olarak budur. Büyümenin hızını görmek için: 10! = 3.628.800 (on kişinin sıralaması), 13! = 6.227.020.800 (artık on haneli). Her adımda bir öncekini n ile çarptığımız için değer katlanarak büyür: 5!'ten 10!'e geçerken sonuç 30 binden fazla katına çıkar. 0!'in ise tanım gereği 1 olduğunu unutmayın — bu, seçim formüllerinin tutarlılığı için şarttır.
Sık sorulan sorular
Faktöriyel nasıl hesaplanır?+
n! = 1'den n'e kadar tüm tam sayıların çarpımıdır: 5! = 5×4×3×2×1 = 120. Araç, büyük n değerlerinde bile tam sonucu hane kaybı olmadan verir.
0! neden 1'e eşit?+
Tanım gereği boş çarpım 1 kabul edilir. Ayrıca kombinasyon ve permütasyon formüllerinin (ör. C(n,n)=1) tutarlı çalışması için 0! = 1 olmalıdır.
Faktöriyel ne kadar hızlı büyür?+
5! = 120, 10! ≈ 3,6 milyon, 20! ise 18 haneli bir sayıdır. Her adımda n ile çarpıldığı için üstel büyümenin bile ötesinde artar; bu yüzden büyük n'lerde özel hesap gerekir.
Negatif veya ondalık sayının faktöriyeli var mı?+
Temel tanımda hayır — faktöriyel yalnız 0 ve pozitif tam sayılar için tanımlıdır. (İleri matematikte gama fonksiyonu bunu genişletir ama bu araç tam sayılarla çalışır.)
Faktöriyel nerelerde kullanılır?+
Sıralama (permütasyon) ve seçim (kombinasyon) problemlerinde, olasılık hesaplarında ve seri açılımlarında. n farklı nesnenin tüm dizilişleri tam olarak n! tanedir.
Hesap makinem büyük faktöriyelde hata veriyor, neden?+
Çoğu hesap makinesi belirli bir basamaktan sonra sayıyı yuvarlar veya taşar. Bu araç tam sayı aritmetiği kullandığından 100! gibi çok büyük değerleri bile kesin hesaplar.